04폭과 부호

1. 2의 보수는 최상위 비트의 자리값을 음수로 둡니다

버스에는 0과 1만 있으므로 음수는 패턴을 읽는 방법으로 만들어야 합니다. 2의 보수가 그 방법입니다. n비트 수에서 비트 n−1의 자리값을 +2^(n−1) 대신 −2^(n−1)로 두고, 나머지 비트의 자리값은 그대로 둡니다. 4비트에서는 비트 3의 자리값이 −8입니다. 패턴 1111은 −8 + 4 + 2 + 1 = −1이고, 1000은 −8, 0111은 7입니다. 범위는 −8부터 7까지입니다.

아래 실험은 1111에서 시작하고 두 가지 읽기를 함께 보입니다. 비트 3 위의 자리값이 −8입니다. 비트를 눌러 보면서 2의 보수 칸이 1인 비트의 자리값을 모두 더한 값인지 확인하세요.

부호를 바꾸려면 모든 비트를 반전한 뒤 1을 더합니다. 5 = 0101을 반전하면 1010이고 1을 더하면 1011입니다. 1011은 −8 + 2 + 1 = −5입니다. 같은 두 단계를 −5에 적용하면 다시 5가 됩니다. 다만 가장 작은 음수는 예외입니다. 4비트의 1000을 같은 방법으로 반전하고 1을 더하면 다시 1000입니다. +8은 4비트 부호 있는 수의 범위 밖이므로, 양수 결과를 표현하려면 먼저 폭을 넓혀야 합니다.

2의 보수를 쓰는 까닭은 앞 단원의 가산기를 그대로 쓸 수 있다는 데 있습니다. 1111 + 0001은 10000이고, 다섯째 비트를 버리면 0000입니다. −1 + 1 = 0과 맞습니다.

2. 패턴 하나에 읽기가 둘입니다

회로는 패턴만 저장합니다. 1111이 15인지 −1인지는 읽는 쪽이 정하고, 두 읽기는 각자의 목적에 맞게 모두 옳습니다. 부호 있는 읽기에서는 최상위 비트가 부호를 알려 주며 1이면 음수입니다. 최상위 비트가 0인 패턴은 어느 쪽으로 읽어도 같은 값입니다. 0000부터 0111까지는 두 읽기 모두 0부터 7입니다.

두 읽기가 다른 패턴에서는 크기 비교도 달라집니다. 부호 없는 수로 1000은 8이고 0111인 7보다 큽니다. 2의 보수로 1000은 −8이고 7보다 작습니다. 한쪽 읽기에 맞춰 만든 비교기는 바로 그 패턴들에서 다른 쪽 읽기에 틀린 답을 냅니다.

부호 해석을 위한 별도 비트가 버스에 추가되는 것은 아닙니다. 타입·선언과 명시적 변환이 해석을 정하며, 구체적인 표기와 규칙은 각 언어 과정에서 다룹니다.

3. 확장은 새 비트를 읽기에 맞게 채워야 값을 보존합니다

4비트 값을 8비트 버스에 옮기면 왼쪽에 비트 네 개가 늘어나고, 그 비트에 값을 채워야 합니다. 0 확장은 새 비트를 0으로 채우고 부호 없는 읽기의 값을 보존합니다. 부호 확장은 새 비트를 원래 최상위 비트의 복사본으로 채우고 2의 보수 읽기의 값을 보존합니다. 원래 최상위 비트가 0이면 두 확장의 결과가 같습니다. 최상위 비트가 1일 때는 아래처럼 결과와 해석이 달라집니다.

반대 방향인 절단은 상위 비트를 버리고 하위 비트만 남깁니다. 버린 비트가 부호 없는 읽기에서는 모두 0, 부호 있는 읽기에서는 모두 새 최상위 비트의 복사본일 때만 값이 보존됩니다. 17은 5비트로 10001이고, 4비트만 남기면 0001, 곧 1입니다. 버린 1의 자리값 16이 사라졌습니다.

주의. 절단은 회로 안에서 아무 표시 없이 일어납니다. 선 네 개는 비트 네 개를 전달하고, 다섯째 비트가 있었다는 기록은 어디에도 남지 않습니다. 폭이 다른 값을 만났을 때 경고하는지, 컴파일 오류를 내는지, 자동으로 확장하는지는 언어마다 다른 규칙이며 각 언어 경로에서 가르칩니다.

4. 사라진 자리올림과 오버플로는 다른 실패입니다

둘 다 실제 결과가 폭에 들어가지 않았다는 뜻이지만, 속하는 읽기가 다르고 드러나는 방식도 다릅니다.

최상위 자리올림은 부호 없는 합에 비트가 하나 더 필요하다는 표시이지, 그 자체가 오류는 아닙니다. 4비트 수 두 개를 더하면 앞 장 마지막 단계의 cout인 다섯째 비트가 생길 수 있습니다. 9 + 8은 1001 + 1000 = 10001입니다. 결과를 4비트에 저장하면 0001, 곧 1이 남고 자리올림이 나타내던 16은 사라집니다. 이 일이 일어났다는 표시는 cout = 1 하나뿐입니다.

부호 있는 오버플로는 실제 합이 부호 있는 결과 범위를 벗어난 경우입니다. 7 + 1은 0111 + 0001 = 1000이고 cout는 0입니다. 1000을 2의 보수로 읽으면 −8입니다. 8이 −8부터 7까지의 범위 밖에 있으므로 양수 둘을 더해 음수가 나왔습니다. cout는 여기서 아무것도 알려 주지 않습니다. 부호 있는 오버플로는 부호로 판별합니다. 두 피연산자의 부호가 같고 결과의 부호가 다르면 오버플로입니다. 부호가 다른 두 수의 덧셈에서는 오버플로가 일어나지 않습니다.

해결 방법은 두 경우에 같습니다. 결과를 피연산자보다 1비트 넓게 둡니다. 부호 없는 수는 cout를 비트 n으로 보존하고, 2의 보수는 두 피연산자를 먼저 1비트 부호 확장한 뒤 더합니다.

5. 변형: 부호 있는 범위에 맞는 폭

−20부터 20까지의 모든 값을 담아야 하는 신호가 있습니다. 범위의 양 끝을 모두 확인해야 합니다. 최솟값 −2^(n−1)은 −20 이하여야 하고, 최댓값 2^(n−1) − 1은 20 이상이어야 합니다. 5비트는 −16부터 15까지여서 양 끝을 모두 담지 못합니다. 6비트는 −32부터 31까지이므로 필요한 범위를 담습니다. 부호 없는 수로 0부터 20까지라면 5비트로 충분합니다. 부호에 비트 하나가 쓰이는 만큼 크기의 범위가 줄어듭니다.

6. 정리

• 2의 보수에서 최상위 비트의 자리값은 −2^(n−1)입니다. n비트는 −2^(n−1)부터 2^(n−1) − 1까지 담습니다.
• 버스는 패턴을 저장하고, 타입·선언과 명시적 변환이 부호 해석을 정합니다.
• 0 확장은 부호 없는 값을, 부호 확장은 2의 보수 값을 보존합니다. 절단은 상위 비트를 표시 없이 버립니다.
• 덧셈에서 cout는 부호 없는 합이 원래 폭을 넘었는지 나타냅니다. 부호 있는 오버플로는 같은 부호의 두 수를 더해 반대 부호가 나올 때 발생합니다. 피연산자를 알맞게 확장하고 결과 폭을 1비트 늘리면 전체 합을 보존할 수 있습니다.
• 폭이 다른 값의 처리 규칙은 언어마다 다릅니다.

지금까지의 회로에는 저장된 상태가 없습니다. 다음 장에서는 한 클록 에지에서 다음 에지까지 값을 붙잡아 두는 레지스터를 다룹니다.